Notes de cours: La fonction rationnelle

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Basket 12662BKGD 0 2 Skechers Burst La fonction rationnelle est une règle dérivée de la fonction inversement proportionnelle. C’est une fonction beaucoup plus complète qui tient en compte plus de paramètres.

Une fonction inversement proportionnelle, c’est le taux de variation (ou la pente soit $p$ ) divisé par $x$ .

\[ f(x) = \frac{p}{x} \]

La fonction rationnelle tient le même principe (la pente divisée par $x$) mais elle rajoute d’autres variables.

\[ f(x) = \frac{p}{b \times (x – h)} + k \]

Basket Burst Skechers 0 2 12662BKGD Pour comprendre les paramètres $h$ et $k$, il faut regarder le graphique ci-contre:

Une des caractéristiques d’une fonction rationnelle, c’est que ses courbes (appelées branches) ne touchent jamais les asymptotes.

Une asymptote, c’est un axe ($X$ ou $Y$) qui correspond à une valeur ($X$ ou $Y$) qui est impossible à atteindre. C’est une valeur $x$ pour laquelle il n’y a pas de valeur $y$ (et vice-versa).

Donc, $h$ correspond à l’asymptote d’axe $X$ (la valeur $x$ qui n’existe pas dans la règle) et $k$ correspond à l’asymptote d’axe $Y$ (la valeur $y$ qui n’existe pas dans la règle).

$b$ correspond à l’orientation de l’hyperbole (la courbe).

Deux règles pour le prix d’une!

2 0 Skechers Basket Burst 12662BKGD La fonction rationnelle peut s’écrire de deux façons:

\[ f_{1}(x) = \frac{p}{b \times (x – h)} + k \]

Ou

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\[ f_{2}(x) = \frac{a_{1}x + b_{1}}{a_{2}x + b_{2}} \]

Voici comment faire pour passer de $f_{2}$ à $f_{1}$:

Avec $\frac{3x + 5}{x – 1} $

12662BKGD Basket 2 Skechers Burst 0 Il faut simplement effectuer la division $(3x + 5) \div (x – 1)$ ce qui donne $\frac{8}{x – 1} + 3$.

Tuons $b$ !

Pour enlever le paramètre $b$, il suffit là aussi d’effectuer la division. Avec $f(x) = \frac{7}{2 \times (x – 10)} + 5$ :

\[ \frac{7 \div 2}{x – 10} + 5 \]

Ce qui donne

\[ \frac{3.5}{x – 10} + 5 \]

12662BKGD Burst 0 2 Basket Skechers Résoudre une équation rationnelle (à une variable)

La résolution d’une équation rationnelle se fait en plusieurs étapes. Les voici:

  1. Isoler la fraction (éliminer la variable $K$)
  2. à Liv lacets Remonte femme Chaussures 1pvx8
  3. Appliquer la règle de trois
  4. Isoler la variable $x$
  5. Trouver la condition d’existence

Exemple:

$-9 = \frac{4}{3 – x} + 2$

Isoler la fraction qui contient la variable $x$:

$-9 – 2 = \frac{4}{3 – x} + 2 – 2$

$\frac{-11}{1} = \frac{4}{3 – x}$

0 Burst Skechers 12662BKGD 2 Basket Règle de trois:

$4 \times 1 = -11 \times (3 – x)$

Résolution de l’équation:

$4 = -33 + 11x $

$4 + 33 = -33 + 33 + 11x$

$37 = 11x$

$\frac{37}{11} = \frac{11x}{11}$

$x = 3,\bar{36}$

Résolution d’une inéquation

Basket 12662BKGD Skechers Burst 0 2 Une inéquation rationnelle se résous presque de la même manière qu’une équation. Il faut:

  1. Changer le symbole d’inégalité ( $ < > \leq \geq $ ) en symbole d’égalité ( $ = $ );
  2. Isoler l’expression contenant la variable;
  3. Appliquer le produit croisé;
  4. Trouver la valeur de la variable;
  5. 0 Burst Skechers 2 Basket 12662BKGD Il faut ensuite déterminer l’intervalle qui permet de confirmer l’inéquation (“entre quoi et quoi l’inéquation est-elle vraie?”). Pour cela, je trace un petit axe numérique sur lequel je situe la valeur de la variable $x$ trouvée ainsi que la valeur de la variable $x$ qui puisse annuler l’inéquation (qui puisse faire en sorte qu’$y$ vaut $0$).
  6. Je remplace $x$ dans l’inéquation par deux nombres: l’un qui se situe entre la valeur $x$ trouvée au #4 et la valeur qui annule l’inéquation et un autre nombre qui se situe à l’extérieur de cette intervalle. Je définis mon intervalle en fonction de l’endroit dans mon axe où n’importe quel nombre peut marcher.
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0 12662BKGD 2 Burst Basket Skechers Exemple:

2 Basket 0 12662BKGD Skechers Burst \[ 7 > \frac{5}{8 – x} + 1

\] \[7 – 1 = \frac{5}{8 – x} + 1 – 1

\] \[6 = \frac{5}{8 – x}

0 Basket 12662BKGD 2 Burst Skechers \] \[8 – x = \frac{5}{6}

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\] \[8 – \frac{5}{6} = x

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\] \[\frac{43}{6} = x

\]

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